Μαθήματα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ

Γενικά

Περιεχόμενα μαθήματος

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών: Τόπος ορισμού και γεωμετρική ερμηνεία. Η έννοια της
καμπυλότητας. Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων. Σφαίρα, ελλειψοειδές, κώνος,
παραβολοειδές, σαγματικές επιφάνειες. Μερικές παράγωγοι: Πρώτης και δεύτερης τάξης – μικτή
παράγωγος. Γεωμετρική ερμηνεία. Φυσική ερμηνεία. Μερικές παράγωγοι απλών, σύνθετων, και
πεπλεγμένων συναρτήσεων. Η έννοια της Ιακωβιανής. Το ολικό διαφορικό. Ακρότατες τιμές
συναρτήσεων πολλών μεταβλητών – μέγιστα, ελάχιστα και «σαγματικά» σημεία. Ακρότατα υπό συνθήκες. Πολλαπλασιαστές Lagrange. Διανυσματική Ανάλυση: Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία.
Παράγωγος κατά κατεύθυνση. Κλίση, απόκλιση και στροφή. Φυσική ερμηνεία. Συντηρητικά πεδία.
Διπλά ολοκληρώματα: Τόπος ολο-κλήρωσης. Επίλυση διπλού ολοκληρώματος σε καρτεσιανές και
πολικές συντεταγμένες. Εφαρμογές των διπλών ολοκληρωμάτων – όγκος στερεού σώματος, ροπή
αδράνειας. Τριπλά ολοκληρώματα: Τόπος ολοκλήρωσης. Επίλυση τριπλού ολοκληρώματος σε
καρτεσιανές, κυλινδρικές, και σφαιρικές συντεταγμένες. Επικαμπύλια ολοκληρώματα: Μέθοδοι
υπολογισμού και εφαρμογές. Κυκλοφορία πεδίου – Έργο δύναμης. Επιφανειακά ολοκληρώματα:
Μέθοδοι υπολογισμού. Θεώρημα Gauss – Ostrogradsky. Θεώρημα Stokes.

Μαθησιακοί Στόχοι

Μετά την επιτυχή παρακολούθηση του μαθήματος, αναμένεται πως οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

  •  Να γνωρίζουν τις βασικές έννοιες που αφορούν στις συναρτήσεις δύο ή/και περισσοτέρων
    πραγματικών μεταβλητών (τόπος ορισμού, γεωμετρική ερμηνεία, κ.ά.).
  • Να γνωρίζουν σε βάθος την έννοια της μερικής παραγώγου πρώτης και δεύτερης τάξης, καθώς
    και την αντίστοιχη «μικτή» παράγωγο, τη φυσική και γεωμετρική ερμηνεία τους, καθώς επίσης
    και τις κυριότερες εφαρμογές τους.
  • Να επιλύουν προβλήματα μερικής παραγώγισης απλών, σύνθετων, και πεπλεγμένων
    συναρτήσεων, καθώς επίσης και προβλήματα καθορισμού ολικών διαφορικών.
  • Να αντιμετωπίζουν προβλήματα ακροτάτων τιμών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών με τηβοήθεια των μερικών παραγώγων (μέγιστα ελάχιστα και «σαγματικά» σημεία). Να βρίσκουν
    ακρότατα υπό συνθήκες με ή χωρίς τη χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange.
  • Να γνωρίζουν τις βασικές αρχές της Διανυσματικής Ανάλυσης και των παραγώγων
    διανυσματικών συναρτήσεων.
  • Να εξοικειωθούν με τις έννοιες της κλίσης, της απόκλισης και της στροφής των διανυσματικών
    πεδίων, με ιδιαίτερη έμφαση στην φυσική ερμηνεία και την ποσοτική αξιοποίηση των εν λόγω
    μεγεθών.
  • Να μπορούν να υπολογίσουν την τιμή διπλών (και τριπλών) ολοκληρωμάτων σε καρτεσιανές,
    πολικές (κυλινδρικές), και σφαιρικές συντεταγμένες, καθώς και των ποσοτήτων που άπτονται
    των εφαρμογών τους (όγκος στερεού σώματος, ροπές αδράνειας επιφανειών, κ.ά.).
  • Να εξοικειωθούν με τα επικαμπύλια και τα επιφανειακά ολοκληρώματα, με έμφαση στη φυσική
    αναπαράσταση των αποτελεσμάτων τους, τις μεθόδους υπολογισμού τους και τις εφαρμογές
    τους (Θεωρήματα Gauss-Ostrogradsky και Stokes).

Γενικές Ικανότητες

• Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με χρήση και των απαραίτητων
τεχνολογιών
• Λήψη αποφάσεων
• Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις
• Αυτόνομη εργασία
• Ομαδική εργασία
• Παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών
• Άσκηση κριτικής και αυτοκριτικής
• Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης

Μέθοδοι Διδασκαλίας

Στην τάξη – Πρόσωπο με πρόσωπο

Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών

– Χρήση του Συστήματος Ηλεκτρονικής Εκπαίδευσης της
Πανεπιστημιούπολης Σερρών (https://elearning.cm.ihu.gr/)
– Επικοινωνία με τους φοιτητές μέσω e-mail.
– Τηλεκπαίδευση μέσω της ψηφιακής πλατφόρμας Zoom.

Οργάνωση Διδασκαλίας

ΔραστηριότηταΦόρτος εργασίας εξαμήνου
Διαλέξεις117
Σύνολο117

Αξιολόγηση Φοιτητών

Εβδομαδιαίο πακέτο ασκήσεων για εργασία στο σπίτι (x12
εβδομάδες – Ποσοστό 12% επί της τελικής βαθμολογίας του
μαθήματος.
Τελική γραπτή εξέταση στην ύλη των Διαλέξεων – ποσοστό 88% επί
της τελικής βαθμολογίας – η οποία περιλαμβάνει:
• Ερωτήσεις Σύντομης Απάντησης (Αποδείξεις)
• Επίλυση Προβλημάτων Λογισμού Συναρτήσεων Πολλών
Μεταβλητών
Η εξέταση γίνεται στην Ελληνική Γλώσσα.
Οι φοιτητές βαθμολογούνται με βάση το εάν και κατά πόσον έχουν
απαντήσει σωστά στις Ερωτήσεις και έχουν επιλύσει σωστά τα
Προβλήματα.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

1. Τερζίδης Χ., «Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών και Διαφορικές Εξισώσεις»,
Εκδόσεις Ανικούλα, Θεσσαλονίκη 2016.
2. Briggs W., Cochran L., & Gillett B., «Απειροστικός Λογισμός», Εκδόσεις ΚΡΙΤΙΚΗ, Αθήνα 2018.
3. Μυλωνάς Ν., Σχοινάς Χ., και Παπασχοινόπουλος Γ., «Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών
Μεταβλητών και Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις». Εκδόσεις ΤΖΙΟΛΑ, Θεσσαλονίκη 2018.