ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Γενικά

• Κωδικός: ΓΥ0101
• Εξάμηνο: 1o
• Επίπεδο Σπουδών: Προπτυχιακό
• Τύπος μαθήματος: Γενικού υποβάθρου
• Γλώσσα διδασκαλίας και εξετάσεων: Ελληνικά
• Το μάθημα διατίθεται σε φοιτητές Erasmus
• Μέθοδοι Διδασκαλίας (Ώρες/εβδ.): Διαλέξεις (5)
• Μονάδες ECTS: 7.5
• Σελίδα μαθήματος: https://elearning.cm.ihu.gr/course/category.php?id=6

Περιεχόμενα μαθήματος

Συναρτήσεις: Ορισμοί. Πεδίο ορισμού, πεδίο τιμών, άρτια και περιττή συνάρτηση, σύνθετη και
αντίστροφη συνάρτηση, είδη συναρτήσεων – πολυωνυμικές, εκθετικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές,
υπερβολικές, και οι αντίστροφές τους. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Παραμετρική παράσταση
καμπύλης. Όρια: Όριο και συνέχεια συνάρτησης. Παράγωγοι: Ορισμός παραγώγου. Γεωμετρική
ερμηνεία παραγώγου. Ρυθμός μεταβολής. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων, παραγώγιση σύνθετης,
πεπλεγμένης και αντίστροφης συνάρτησης, λογαριθμική παραγώγιση. Διαφορικό συνάρτησης.
Εφαρμογές των παραγώγων: Θεώρημα Rolle και μέσης τιμής, μελέτη συνάρτησης – ακρότατες τιμές,
διαστήματα μονοτονίας, σημεία καμπής, διαστήματα καμπυλότητας, ασύμπτωτες καμπύλης. Επίλυση
ορίων με τον κανόνα του de l’ Hospital. Αναπτύγματα Taylor-Mc Laurin. Αόριστα ολοκληρώματα:
Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης – ολοκλήρωση με αντικατάσταση, ολοκλήρωση κατά παράγοντες, Άλλες
μέθοδοι ολοκλήρωσης. Ορισμένα ολοκληρώματα: Ορισμοί. Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού
λογισμού. Θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού. Εφαρμογές των ορισμένων
ολοκληρωμάτων – μήκος τόξου καμπύλης, εμβαδόν επίπεδου χωρίου, έργο δυνάμεως, έργο
αντιστρεπτής μεταβολής. Γενικευμένα ολοκληρώματα: 1
ου, 2ου, και 3ου είδους. Μέθοδοι επίλυσης.
Πρωτεύουσα τιμή του Cauchy. Εφαρμογές.
Γραμμική Άλγεβρα: Πολυώνυμα: Βασικές έννοιες, διαίρεση πολυωνύμων, εύρεση ριζών – πραγματικές
και μιγαδικές ρίζες. Μιγαδικοί Αριθμοί: Βασικές έννοιες. Το μιγαδικό επίπεδο. Αναπαραστάσεις των
μιγαδικών αριθμών. Πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς. Διανύσματα: Βασικές έννοιες και κανόνες
χειρισμού διανυσμάτων, πράξεις μεταξύ διανυσμάτων, το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, το
εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, εφαρμογές. Πίνακες: Βασικοί ορισμοί, είδη πινάκων και εφαρμογές,
πράξεις μεταξύ πινάκων, πολλαπλασιασμός πινάκων, ταυτοτικός πίνακας, ανάστροφος πίνακα, ενιαίος
(unitary) πίνακας, ομοιότητα πινάκων, εύρεση αντίστροφου πίνακα με γραμμοπράξεις. Ιδιοτιμές και
ιδιοδιανύσματα πίνακα. Διαγωνιοποίηση πινάκων. Ορίζουσες: Βασικές ιδιότητες, υπολογισμός
ορίζουσας αντιστρέψιμου πίνακα. Γραμμικά συστήματα: Επίλυση γραμμικών συστημάτων – με τη
μέθοδο Kramer, με τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα.

Μαθησιακοί Στόχοι

Μετά την επιτυχή παρακολούθηση του μαθήματος, αναμένεται πως οι φοιτητές θα είναι σε θέση:

Στην Ανάλυση Συναρτήσεων μιας Μεταβλητής:

• Να γνωρίζουν τις βασικές έννοιες που αφορούν στις συναρτήσεις μιας μεταβλητής (πεδίο
  ορισμού, πεδίο τιμών, άρτιες και περιττές συναρτήσεις, σύνθετη και αντίστροφη συνάρτηση),
  καθώς επίσης και τα διάφορα είδη των εν λόγω απεικονίσεων (πολυωνυμικές, εκθετικές,
  λογαριθμικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές, κ.ά.).
•  Να σχηματίζουν τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και, μέσω αυτής, να αναγνωρίζουν τις
  βασικές τις ιδιότητες.
• Να διαχειρίζονται επαρκώς τις έννοιες του ορίου, της στοιχειώδους μεταβολής (διαφορικό) και της παραγώγου – Ιδιαίτερη εξοικείωση με τη γεωμετρική και τη φυσική ερμηνεία της παραγώγου.
• Να επιλύουν προβλήματα παραγώγισης σύνθετων, πεπλεγμένων και αντίστροφων συναρτήσεων, καθώς επίσης και λογαριθμική παραγώγιση.
• Να γνωρίζουν τα βασικά θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού και να διαχειρίζονται με ευχέρεια τις εφαρμογές τους.
• Να μελετούν συναρτήσεις με τη βοήθεια των παραγώγων (ακρότατες τιμές, διαστήματα μονοτονίας, σημεία καμπής, διαστήματα καμπυλότητας) και να επι-λύουν ασκήσεις οριακών τιμών με τον κανόνα του de l’ Hospital.
• Να αναπτύσσουν συναρτήσεις σε σειρές δυνάμεων, γύρω από κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού τους, σύμφωνα με τη μέθοδο Taylor ή/και Mc Laurin.
• Να γνωρίζουν, με επάρκεια κατά την εφαρμογή, τις βασικές μεθόδους ολοκλήρωσης (π.χ., με αντικατάσταση, κατά παράγοντες, κλπ.) αόριστων ολοκληρωμάτων.
• Να υπολογίζουν την τιμή ορισμένων ολοκληρωμάτων, καθώς και των ποσοτήτων που άπτονται των εφαρμογών τους (π.χ., μήκος τόξου καμπύλης, εμβαδόν επίπεδου χωρίου, έργο δυνάμεως, έργο αντιστρεπτής μεταβολής, κ.ά.).
• Να γνωρίζουν τα βασικά θεωρήματα του Ολοκληρωτικού Λογισμού και να είναι σε θέση να τα χρησιμοποιήσουν για την επίλυση προβλημάτων.
• Να υπολογίζουν την τιμή γενικευμένων ολοκληρωμάτων 1ου, 2ου, και 3ου είδους, είτε απευθείας είτε μέσω της πρωτεύουσας τιμής του Cauchy.

 Στη Γραμμική Άλγεβρα:

• Να γνωρίζουν τις βασικές έννοιες των πολυωνύμων και να πραγματοποιούν, με επιτυχία,
  πράξεις μεταξύ τους, με έμφαση στη διαίρεση πολυωνύμων, καθώς επίσης και στην εύρεση των
  πραγματικών και μιγαδικών ριζών τους – Μιγαδικοί αριθμοί.
• Να διαχειρίζονται τις βασικές έννοιες των διανυσμάτων και να πραγματοποιούν πράξεις μεταξύ
  διανυσμάτων, με έμφαση στον υπολογισμό του εσωτερικού και του εξωτερικού γινομένου,
  καθώς επίσης και των εφαρμογών τους.
•  Να γνωρίζουν τα βασικά περί πινάκων – ορισμοί, πράξεις πινάκων, ταυτοτικός πίνακας,
  ανάστροφος πίνακα, ενιαίος πίνακας (unitary matrix), ομοιότητα πινάκων, γραμμοπράξεις,
  εύρεση αντίστροφου πίνακα – με έμφαση στους τετραγωνικούς πίνακες διάστασης 3 και 4.
•  Να είναι σε θέση να υπολογίζουν τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός τετρα-γωνικού πίνακα
  και να μπορούν να προβούν σε διαγωνιοποίησή του.
• Να διαχειρίζονται επαρκώς τις ιδιότητες των οριζουσών και να υπολογίζουν ορίζουσες
  αντιστρέψιμων πινάκων.
• Να επιλύουν γραμμικά συστήματα, τόσο με τη μέθοδο Kramer όσο και με τη μέθοδο του
  αντίστροφου πίνακα.

Γενικές Ικανότητες

• Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με χρήση και των απαραίτητων
τεχνολογιών
• Λήψη αποφάσεων
• Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις
• Αυτόνομη εργασία
• Ομαδική εργασία
• Παραγωγή νέων ερευνητικών ιδεών
• Άσκηση κριτικής και αυτοκριτικής
• Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης

Μέθοδοι Διδασκαλίας

Πρόσωπο με πρόσωπο

Χρήση Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνιών

– Χρήση του Συστήματος Ηλεκτρονικής Εκπαίδευσης της Πανεπιστημιούπολης Σερρών (https://elearning.cm.ihu.gr/)
– Επικοινωνία με τους φοιτητές μέσω e-mail.
– Τηλεκπαίδευση μέσω της ψηφιακής πλατφόρμας Zoom

Οργάνωση Διδασκαλίας

Αξιολόγηση Φοιτητών

Εβδομαδιαίο πακέτο ασκήσεων για εργασία στο σπίτι (×12
εβδομάδες) – Ποσοστό 12% επί της τελικής βαθμολογίας του
μαθήματος.
Τελική γραπτή εξέταση στην ύλη των Διαλέξεων – ποσοστό 88% επί
της τελικής βαθμολογίας – η οποία περιλαμβάνει:
Ερωτήσεις Σύντομης Απάντησης (Αποδείξεις)
Επίλυση Προβλημάτων Ανάλυσης Συναρτήσεων μίας Μεταβλητής
και Προβλημάτων Γραμμικής Άλγεβρας. Η γραπτή εξέταση γίνεται
στην Ελληνική Γλώσσα.
Οι φοιτητές βαθμολογούνται με βάση το εάν και κατά πόσον έχουν
απαντήσει σωστά στις Ερωτήσεις και έχουν επιλύσει σωστά τα
Προβλήματα.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

1. Briggs W., Cochran L., & Gillett B., «Απειροστικός Λογισμός», Εκδόσεις ΚΡΙΤΙΚΗ, Αθήνα 2018.

2. Μυλωνάς Ν., Σχοινάς Χ., και Παπασχοινόπουλος Γ., «Λογισμός Συναρτήσεων μιας Μεταβλητής και
Γραμμική Άλγεβρα», Εκδόσεις ΤΖΙΟΛΑ, Θεσσαλονίκη 2018.

3. Φιλιππάκης Μ. Ε., «Εφαρμοσμένη Ανάλυση και Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας», Εκδόσεις ΤΣΙΟΤΡΑΣ,
Αθήνα 2017.

4. Τερζίδης Χ., «Λογισμός Συναρτήσεων μιας Μεταβλητής με Στοιχεία Διανυσματικής και Γραμμικής
Άλγεβρας», Εκδόσεις ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΙΔΗ, Θεσσαλονίκη 2016.